Onde regolari progressive

Per la trattazione delle onde regolari si usa un metodo approssimato relativo alle onde infinitesime, il modello stokiano per onde di piccola ampiezza. Esso introduce un metodo perturbativo che involve una serie di potenze al primo ordine di approssimazione, con la serie arrestata al primo termine.

Le onde stokiane si classificano in:
  • Di piccola ampiezza in relazione alla lunghezza d'onda;
  • Regolari;
  • Progressive, si propagano fisicamente nello spazio e nel tempo;
  • Periodiche, ondulazione ripetuta nel tempo, fissato lo spazio e viceversa ripetuta nello spazio fissato il tempo;
  • Bidimensionali;
Facendo le seguenti ipotesi:
  1. Fluido ideale ed incomprimibile;
  2. Moto bidimensionale irrotazionale, ovvero a potenziale V=φ
  3. Effetti della tensione superficiale trascurabili;
  4. Fondo piano, rigido ed impermeabile → h= cost
E' possibile scrivere l'equazione del profilo dell'onda stokiana:

Dove:
  • x [m]: direzione di propagazione;
  • t [s]: tempo:
  • H [m]: altezza d'onda;
  • h [m]: profondità;
  • a = H/2   [m] ampiezza d'onda:  
  • T [s]: periodo d'onda;
  • h/L : profondità relativa; 
  • H/L  : ripidità dell'onda; 
  • L [m]: lunghezza d'onda;
  • θ = kx-σt : fase d'onda
  •          :   pulsazione d'onda
  •      
 :   numero d'onda

Il legame diretto tra σ e k permettere di definire le onde regolari come dispersive, viene definita relazione di dispersione:



Da questa relazione è possibile ottenere un'altra che mette in relazione lunghezza d'onda, profondità e periodo:


Troviamo anche la velocità di propagazione c e la velocità di gruppo cg, che viene valutata come la derivata di σ rispetto a k:






Si introduce il concetto di profondità relativa h/l, tramite il quale possiamo classificare diverse condizioni di profondità:

  • h/L ≥ 0,5 → deep water = profondità infinita
  • 0,05 < h/L < 0,5 intermediate depht = profondità intermedia
  • h/L ≤ 0,05 → shallow water = bassa profondità

Sfruttando le proprietà matematica di senh, cosh e tanh è possibile semplificare le formule per la deep water e la shallow water, cioè per la profondità infinita o la bassa profondità.

Profondità infinita – deep water
tanh (kh) → 1 =>

 




Bassa profondità – shallow water
cosh (α) = 1
senh (α) = α
tanh (α) = α

L = C T



cg = c

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